원자 구조와 스펙트럼 Atomic Structure and Spectra

수소형 원자(hydrogenic atom)는 핵 전하가 $Ze$인 원자핵과 하나의 전자로 이루어진 계이다. Schrodinger 방정식의 정확한 해를 구할 수 있으며, 에너지 준위는 $E_n = -hcR_\infty Z^2/n^2$로 주어진다. 여기서 $R_\infty$는 Rydberg 상수, $n$은 주양자수이다. 에너지는 $n$에만 의존하고 $l$이나 $m_l$에는 무관하므로 각 $n$에 대해 $n^2$개의 축퇴된 오비탈이 존재한다. 이 축퇴는 수소형 원자의 Coulomb 포텐셜의 특수한 대칭성에 기인한다. A hydrogenic atom consists of a nucleus with charge $Ze$ and a single electron. The Schrodinger equation can be solved exactly, giving energy levels $E_n = -hcR_\infty Z^2/n^2$, where $R_\infty$ is the Rydberg constant and $n$ is the principal quantum number. Because the energy depends only on $n$ (not on $l$ or $m_l$), there are $n^2$ degenerate orbitals for each $n$. This degeneracy arises from the special symmetry of the Coulomb potential.

수소 원자의 파동함수 $\psi_{n,l,m_l}(r,\theta,\phi) = R_{n,l}(r) \cdot Y_l^{m_l}(\theta,\phi)$는 지름 부분(radial part) $R_{n,l}(r)$과 각도 부분(angular part, 구면조화함수) $Y_l^{m_l}$의 곱으로 분리된다. 전자를 핵으로부터 거리 $r$에서 $r + \mathrm{d}r$ 사이의 구각 껍질에서 발견할 확률은 반지름 분포 함수 $P(r) = 4\pi r^2 |R_{n,l}(r)|^2$에 비례한다. $r^2$ 인자가 부피 요소의 기하학적 증가를 반영하므로, $P(r)$의 최댓값 위치(최확 반지름 $r_\text{mp}$)는 $|R|^2$의 최댓값과 다르다. 지름 파동함수의 노드(node) 수는 $n - l - 1$개이다. The wavefunction of the hydrogen atom $\psi_{n,l,m_l}(r,\theta,\phi) = R_{n,l}(r) \cdot Y_l^{m_l}(\theta,\phi)$ separates into a radial part $R_{n,l}(r)$ and an angular part (spherical harmonics) $Y_l^{m_l}$. The probability of finding the electron in a spherical shell between $r$ and $r + \mathrm{d}r$ is proportional to the radial distribution function $P(r) = 4\pi r^2 |R_{n,l}(r)|^2$. The $r^2$ factor reflects the geometric increase in volume element, so the position of the maximum of $P(r)$ (most probable radius $r_\text{mp}$) differs from the maximum of $|R|^2$. The number of radial nodes is $n - l - 1$.

원자의 전자가 광자를 흡수하거나 방출하여 에너지 준위 사이를 전이할 때, 모든 전이가 허용되는 것은 아니다. 전이 쌍극자 모멘트(transition dipole moment) $\boldsymbol{\mu}_{fi} = \langle f | \hat{\boldsymbol{\mu}} | i \rangle$가 0이 아닌 경우에만 전이가 일어난다. 수소 원자에서 허용 전이의 선택 규칙은 $\Delta l = \pm 1$, $\Delta m_l = 0, \pm 1$이다. 주양자수 $n$에는 제한이 없다. 이 규칙에 의해 s $\to$ s, d $\to$ d 전이는 금지되고, s $\to$ p 또는 p $\to$ d 전이만 허용된다. When an electron transitions between energy levels by absorbing or emitting a photon, not all transitions are allowed. A transition occurs only if the transition dipole moment $\boldsymbol{\mu}_{fi} = \langle f | \hat{\boldsymbol{\mu}} | i \rangle$ is non-zero. For the hydrogen atom, the selection rules are $\Delta l = \pm 1$ and $\Delta m_l = 0, \pm 1$. There is no restriction on $\Delta n$. These rules forbid s $\to$ s and d $\to$ d transitions, allowing only s $\to$ p or p $\to$ d transitions, for example.