운동하는 분자 Molecules in Motion

기체 분자는 무작위한 직선 운동을 하며, 분자 간 충돌 사이의 평균 자유 경로(mean free path)는 $\lambda = \frac{k_BT}{\sqrt{2}\pi d^2 p}$이다. 여기서 $d$는 분자의 충돌 직경, $p$는 압력이다. 수송 현상(transport phenomena)은 계의 한 성질이 공간적으로 불균일할 때 그 불균일성을 제거하려는 비가역적 과정이다. 농도 구배가 있으면 확산(diffusion), 운동량 구배가 있으면 점도(viscosity), 온도 구배가 있으면 열전도(thermal conductivity)가 일어난다. 세 가지 모두 분자의 무작위 운동에 기인한다. Gas molecules undergo random linear motion, with the mean free path between collisions given by $\lambda = \frac{k_BT}{\sqrt{2}\pi d^2 p}$, where $d$ is the collision diameter and $p$ the pressure. Transport phenomena are irreversible processes that eliminate spatial non-uniformity: diffusion arises from concentration gradients, viscosity from momentum gradients, and thermal conductivity from temperature gradients. All three originate from random molecular motion.

Fick의 제1법칙은 확산 플럭스 $J$가 농도 구배에 비례한다고 기술한다: $J = -D \frac{\partial C}{\partial x}$. 음의 부호는 확산이 고농도에서 저농도 방향으로 일어남을 나타낸다. Fick의 제2법칙(확산 방정식) $\frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2}$은 농도의 시간 변화를 기술한다. 1차원에서 점원(point source)으로부터의 확산 해는 가우스 함수 $C(x,t) = \frac{C_0}{\sqrt{4\pi D t}}\exp\!\left(-\frac{x^2}{4Dt}\right)$이다. rms 변위 $x_\text{rms} = \sqrt{2Dt}$는 확산의 특징적 거리이다. 이 $\sqrt{t}$ 의존성은 확산이 대류보다 장거리 수송에 비효율적임을 보여준다. Fick's first law states that diffusion flux $J$ is proportional to the concentration gradient: $J = -D \frac{\partial C}{\partial x}$. The negative sign indicates diffusion from high to low concentration. Fick's second law (the diffusion equation) $\frac{\partial C}{\partial t} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2}$ describes how concentration evolves in time. For a point source in 1D, the solution is a Gaussian: $C(x,t) = \frac{C_0}{\sqrt{4\pi D t}}\exp\!\left(-\frac{x^2}{4Dt}\right)$. The rms displacement $x_\text{rms} = \sqrt{2Dt}$ is the characteristic diffusion distance. This $\sqrt{t}$ dependence shows that diffusion is inefficient for long-range transport compared to convection.

점도(viscosity)는 유체의 층류 흐름에 대한 저항이다. 분자 운동론에서 기체의 점도는 $\eta = \frac{1}{3}\rho\bar{c}\lambda$로, 분자 질량과 온도에 의존하지만 놀랍게도 압력에 독립적이다(일정한 $\rho\lambda$ 곱에 기인). 온도가 올라가면 $\bar{c}$가 증가하므로 기체 점도가 증가한다. 이것은 액체의 거동과 정반대이다. 열전도도 $\kappa = \frac{1}{3}C_V[A]\bar{c}\lambda$도 같은 원리로 기술된다. 여기서 $C_V[A]$는 분자당 열용량이다. 이온의 수송은 전기 전도도(electrical conductivity)와 관련되며, Nernst-Einstein 방정식 $D = \frac{u k_BT}{ze}$가 이동도 $u$와 확산 계수를 연결한다. Viscosity is the resistance of a fluid to laminar flow. From kinetic theory, gas viscosity is $\eta = \frac{1}{3}\rho\bar{c}\lambda$, depending on molecular mass and temperature but remarkably independent of pressure (due to the constant product $\rho\lambda$). Increasing temperature raises $\bar{c}$, so gas viscosity increases, opposite to liquids. Thermal conductivity $\kappa = \frac{1}{3}C_V[A]\bar{c}\lambda$ follows the same framework, where $C_V[A]$ is the heat capacity per molecule. Ionic transport relates to electrical conductivity via the Nernst-Einstein equation $D = \frac{u k_BT}{ze}$, connecting mobility $u$ and diffusion coefficient.