물체의 온도가 시간에 따라 변하는 과도 전도 문제를 다룬다. 비오 수(Bi)가 물체 내부 저항 대비 외부 대류 저항의 크기를 결정하며, 이에 따라 집중 용량법(Bi < 0.1)과 분포 해석(Heisler 차트, 반무한체)으로 나뉜다.Transient conduction problems where temperature varies with time. The Biot number (Bi) determines the relative importance of internal conduction resistance versus external convection resistance, guiding the choice between lumped capacitance (Bi < 0.1) and distributed analysis (Heisler charts, semi-infinite solid).
물체의 내부 열전도 저항이 외부 대류 저항에 비해 충분히 작으면, 물체 내부의 온도 구배를 무시할 수 있다. 이때 물체 전체가 균일한 온도를 가진다고 가정하고, 에너지 균형을 시간에 대한 상미분 방정식으로 쓸 수 있다. 이 가정의 유효성을 판단하는 무차원수가 비오 수(Biot number)이다.When the internal conduction resistance of a body is sufficiently small compared to the external convection resistance, the temperature gradient inside the body can be neglected. The entire body is assumed to have a uniform temperature, and the energy balance reduces to an ordinary differential equation in time. The Biot number is the dimensionless criterion that determines the validity of this assumption.
$$ \text{Bi} < 0.1 \implies \text{Lumped capacitance is valid} $$
에너지 균형: 물체가 잃는 열($-hA_s(T - T_\infty)$)이 내부 에너지 변화율($\rho V c_p \, dT/dt$)과 같다. 이를 풀면 지수적 감쇠(exponential decay)를 얻는다.Energy balance: the heat lost by the body ($-hA_s(T - T_\infty)$) equals the rate of change in internal energy ($\rho V c_p \, dT/dt$). Solving yields an exponential decay.
$$ \rho V c_p \frac{dT}{dt} = -hA_s(T - T_\infty) $$
시정수(time constant): $\tau = \rho V c_p / (hA_s) = L_c^2/(\alpha\cdot\text{Bi})$. $t = \tau$일 때 $\theta = e^{-1} \approx 0.368$Time constant: $\tau = \rho V c_p / (hA_s) = L_c^2/(\alpha\cdot\text{Bi})$. At $t = \tau$, $\theta = e^{-1} \approx 0.368$
Bi < 0.1: 내부 전도 저항 $\ll$ 외부 대류 저항. 물체 표면과 중심의 온도차가 전체 구동 온도차의 5% 미만Bi < 0.1: internal conduction resistance $\ll$ external convection resistance. Surface-to-center temperature difference is less than 5% of the total driving temperature difference
Q1. 철 구(steel sphere, $k = 50$ W/m K)의 지름이 4 cm이고, $h = 100$ W/m$^2$ K인 공기 중에서 냉각된다. 집중 용량법을 적용할 수 있는가?Q1. A steel sphere ($k = 50$ W/m K) of diameter 4 cm cools in air with $h = 100$ W/m$^2$ K. Can the lumped capacitance method be applied?
구의 특성 길이 $L_c = r/3 = 0.02/3 \approx 0.00667$ m. $\text{Bi} = hL_c/k = 100 \times 0.00667 / 50 = 0.013$. 0.1보다 훨씬 작으므로 집중 용량법이 유효하다. $\rho$와 $c_p$는 Bi 계산에는 필요 없고, 시정수 $\tau$ 계산에 사용된다.For a sphere, $L_c = r/3 = 0.02/3 \approx 0.00667$ m. $\text{Bi} = hL_c/k = 100 \times 0.00667 / 50 = 0.013$. This is well below 0.1, so the lumped capacitance method is valid. $\rho$ and $c_p$ are not needed for Bi but are used to compute the time constant $\tau$.
Section 4.2
집중 계의 온도 응답Lumped System Temperature Response
집중 용량법이 유효한 경우, 무차원 온도 $\theta$는 무차원 시간 Fo와 Bi의 곱 $(\text{Bi} \cdot \text{Fo})$에 대해 단순 지수 감쇠를 따른다. Bi가 작을수록 (내부 전도가 빨라) 같은 Fo에서 $\theta$가 더 높다 -- 즉 냉각이 느리다. 이는 외부 대류가 율속 단계(rate-limiting step)이기 때문이다.When the lumped capacitance method is valid, the dimensionless temperature $\theta$ follows a simple exponential decay with respect to the product $\text{Bi} \cdot \text{Fo}$. Smaller Bi (faster internal conduction) means higher $\theta$ at the same Fo -- i.e., slower cooling -- because external convection is the rate-limiting step.
Interactive Figure 4.1집중 계 온도 응답: $\theta$ vs FoLumped System Response: $\theta$ vs Fo
Bi0.05
Fo1.00
Bi · Fo--
θ--
τ / (Lc²/α)--
Status--
θ(Fo) 응답 곡선θ(Fo) response curve
현재 위치Current point
핵심 통찰Key Insight
Bi > 0.1이면 물체 내부에 유의미한 온도 구배가 존재하므로, 집중 용량법의 "균일 온도" 가정이 무너진다. 이 경우 내부 온도 분포를 구해야 하며, 1-D 과도 전도 해석(분리 변수법, Heisler 차트)으로 넘어간다.When Bi > 0.1, significant temperature gradients exist inside the body, and the "uniform temperature" assumption of lumped capacitance breaks down. One must then solve for the internal temperature distribution using 1-D transient conduction analysis (separation of variables, Heisler charts).
Q2. 동일한 재질의 구와 평판이 같은 대류 조건에서 냉각된다. 같은 체적일 때, 어느 쪽의 시정수 $\tau$가 더 큰가?Q2. A sphere and a slab of the same material cool under the same convection conditions. For the same volume, which has a larger time constant $\tau$?
$\tau = \rho V c_p / (h A_s)$. 같은 체적에서 구는 표면적이 최소인 도형이므로 $V/A_s$가 가장 크고, 따라서 구의 $\tau$가 가장 크다. 평판은 두 면으로 냉각되므로 $A_s$가 커서 $V/A_s$가 작고 $\tau$가 작다. 정답 수정: 실제로 구가 같은 체적 대비 표면적이 가장 작으므로 구의 $\tau$가 가장 크다. 구의 특성 길이 $L_c = r/3$이 평판의 $L_c = L_{\text{half}}$보다 큰 경우가 많다.$\tau = \rho V c_p / (h A_s)$. For a given volume, a sphere has the minimum surface area, so $V/A_s$ is maximized for a sphere, giving it the largest $\tau$. A slab cools from both faces, giving larger $A_s$ and smaller $V/A_s$. Hence the sphere generally has the larger time constant.
Section 4.3
1차원 과도 전도One-Dimensional Transient Conduction
Bi $\geq$ 0.1이면 물체 내부의 온도 분포를 시간과 공간의 함수로 구해야 한다. 1차원 비정상 열전도 방정식을 분리변수법(separation of variables)으로 풀면, 해는 급수 형태의 고유함수(eigenfunction) 전개가 된다. 평판, 원통, 구 각각에 대해 고유치 방정식(eigenvalue equation)이 다르다.When Bi $\geq$ 0.1, the internal temperature distribution must be determined as a function of both time and position. Solving the 1-D unsteady heat equation by separation of variables yields a series expansion in eigenfunctions. The eigenvalue equation differs for slabs, cylinders, and spheres.
$C_1$과 $\zeta_1$은 Bi의 함수이며, 교재 부록 표에 수록되어 있다. Heisler 차트는 이 1-항 근사를 그래프로 표현한 것이다$C_1$ and $\zeta_1$ are functions of Bi, tabulated in textbook appendices. Heisler charts are graphical representations of this one-term approximation
Q3. 1-항 근사가 유효하려면 Fo가 어느 정도 이상이어야 하는가?Q3. What is the minimum Fo for the one-term approximation to be valid?
$n \geq 2$ 항들은 $\exp(-\zeta_n^2 \text{Fo})$로 감쇠하는데, $\zeta_2 > \zeta_1$이므로 Fo가 클수록 빠르게 소멸한다. Fo > 0.2이면 $n = 1$ 항의 기여가 99% 이상이 되어 1-항 근사로 충분하다. 이것이 Heisler 차트의 사용 조건이기도 하다.Higher-order terms decay as $\exp(-\zeta_n^2 \text{Fo})$ with $\zeta_2 > \zeta_1$, so they vanish quickly for large Fo. At Fo > 0.2, the $n = 1$ term contributes over 99% of the total, making the one-term approximation sufficient. This is also the validity condition for Heisler charts.
Section 4.4
하이슬러 차트Heisler Charts
Heisler 차트는 1-항 근사 해를 그래프로 읽을 수 있게 만든 도구로, 평판, 원통, 구 각각에 대해 중심 온도 $\theta_0^*$를 Fo와 $1/\text{Bi}$의 함수로 나타낸다. $1/\text{Bi}$가 클수록 (외부 대류 저항이 지배적) 물체 내부가 거의 균일하게 냉각되며, $1/\text{Bi}$가 작으면 (내부 전도 저항이 지배적) 중심 온도가 천천히 떨어진다. 아래 차트에서는 평판(plane wall)에 대한 중심 온도 $\theta_0^*$를 보여준다.Heisler charts graphically present the one-term approximation solution, showing the center temperature $\theta_0^*$ as a function of Fo and $1/\text{Bi}$ for plane walls, cylinders, and spheres. Large $1/\text{Bi}$ (dominant external convection resistance) means nearly uniform internal cooling, while small $1/\text{Bi}$ (dominant internal conduction resistance) means the center temperature drops slowly. The chart below shows the center temperature $\theta_0^*$ for a plane wall.
Interactive Figure 4.2Heisler 차트: 평판 중심 온도Heisler Chart: Plane Wall Center Temperature
1/Bi1.00
Fo1.00
1/Bi--
Bi--
Fo--
θ0*--
차트 사용법How to Use the Chart
(1) 문제에서 Bi를 계산하여 $1/\text{Bi}$ 곡선을 선택한다. (2) 원하는 $\theta_0^*$에서 수평으로 이동하여 해당 곡선과 만나는 Fo를 읽는다 (또는 주어진 Fo에서 $\theta_0^*$를 읽는다). (3) $\text{Fo} = \alpha t / L^2$로부터 실제 시간 $t$를 구한다. 표면이나 임의 위치의 온도는 별도의 보정 차트 $\theta^*/\theta_0^*$를 사용한다.(1) Calculate Bi from the problem and select the $1/\text{Bi}$ curve. (2) Move horizontally from the desired $\theta_0^*$ to find the corresponding Fo (or read $\theta_0^*$ for a given Fo). (3) Compute the actual time from $\text{Fo} = \alpha t / L^2$. For surface or arbitrary-position temperatures, use the separate correction chart $\theta^*/\theta_0^*$.
Q4. Heisler 차트에서 $1/\text{Bi} \to \infty$ 곡선은 어떤 물리적 상황에 대응하는가?Q4. What physical situation does the $1/\text{Bi} \to \infty$ curve on a Heisler chart represent?
$1/\text{Bi} \to \infty$는 $\text{Bi} \to 0$을 의미한다. 이 경우 내부 전도 저항이 무시할 수 있을 만큼 작아 물체 전체가 균일한 온도를 유지하며, 집중 용량법의 결과와 일치한다. 반대로 $1/\text{Bi} \to 0$ (Bi $\to \infty$)은 표면 온도가 즉시 $T_\infty$로 고정되는 경우이다.$1/\text{Bi} \to \infty$ means $\text{Bi} \to 0$. Internal conduction resistance is negligible, the body maintains a uniform temperature, and the result matches the lumped capacitance solution. Conversely, $1/\text{Bi} \to 0$ (Bi $\to \infty$) represents the case where the surface temperature is instantly fixed at $T_\infty$.
Section 4.5
반무한 고체Semi-Infinite Solid
유한한 두께의 물체라도 열 침투 깊이가 물체 두께보다 훨씬 작은 초기 시간대에서는, 물체를 반무한 고체(semi-infinite solid)로 모델링할 수 있다. 이 해석은 주조 공정에서 주형 표면의 초기 냉각, 지면의 일주/연주 온도 변동 등에 적용된다. 표면 경계 조건에 따라 세 가지 경우로 나뉜다.Even a finite-thickness body can be modeled as a semi-infinite solid during early times when the thermal penetration depth is much smaller than the body thickness. This analysis applies to initial cooling of casting mold surfaces, diurnal/annual ground temperature variations, etc. Three cases arise depending on the surface boundary condition.
Case 1: 표면 온도 고정 ($T_s = \text{const}$)Case 1: Constant surface temperature ($T_s = \text{const}$)
열 침투 깊이: $\delta_p \approx 4\sqrt{\alpha t}$. $\text{erf}(2) \approx 0.995$이므로, $x > \delta_p$에서는 초기 온도 $T_i$가 거의 유지된다Thermal penetration depth: $\delta_p \approx 4\sqrt{\alpha t}$. Since $\text{erf}(2) \approx 0.995$, the initial temperature $T_i$ is essentially maintained for $x > \delta_p$
표면 온도 응답 (Case 1에서 $x=0$): $q_s'' = k(T_s - T_i)/\sqrt{\pi\alpha t}$. 시간이 지남에 따라 열유속이 $1/\sqrt{t}$로 감소Surface heat flux response (Case 1, $x=0$): $q_s'' = k(T_s - T_i)/\sqrt{\pi\alpha t}$. Heat flux decreases as $1/\sqrt{t}$ over time
Q5. 반무한 고체의 열 침투 깊이 $\delta_p \approx 4\sqrt{\alpha t}$에서 시간 $t$가 4배 증가하면 $\delta_p$는 몇 배 증가하는가?Q5. In a semi-infinite solid with $\delta_p \approx 4\sqrt{\alpha t}$, if time $t$ quadruples, by what factor does $\delta_p$ increase?
$\delta_p \propto \sqrt{t}$이므로, $t \to 4t$이면 $\delta_p \to 2\delta_p$. 열 확산은 시간의 제곱근에 비례하여 진행되며, 이는 확산 방정식의 근본적인 특성이다 ($x \sim \sqrt{\alpha t}$ 스케일링).$\delta_p \propto \sqrt{t}$, so $t \to 4t$ gives $\delta_p \to 2\delta_p$. Thermal diffusion progresses as the square root of time, a fundamental property of the diffusion equation ($x \sim \sqrt{\alpha t}$ scaling).