열전달의 미분 방정식Differential Equations of Heat Transfer
미소 검사 체적에 에너지 보존을 적용하면 온도장을 지배하는 편미분 방정식이 도출된다. 이 장에서는 열 확산 방정식의 유도, 경계 조건의 분류, 그리고 대표적인 해석해를 다룬다.Applying energy conservation to a differential control volume yields the partial differential equation governing the temperature field. This chapter derives the heat diffusion equation, classifies boundary conditions, and presents representative analytical solutions.
에너지 방정식 (열 확산 방정식)The Energy Equation (Heat Diffusion Equation)
정지한 매질의 미소 체적 $dx\,dy\,dz$에 대해 에너지 보존을 적용한다. 유입 에너지 + 내부 발열 = 유출 에너지 + 저장 에너지 변화율. 이를 정리하면 직교 좌표계에서 일반적인 열 확산 방정식(heat diffusion equation)이 도출된다.Apply energy conservation to a differential element $dx\,dy\,dz$ of a stationary medium. Energy in + internal generation = energy out + rate of change of stored energy. This yields the general heat diffusion equation in Cartesian coordinates.
열전도율 $k$가 일정하면 라플라시안 형태로 단순화된다:When thermal conductivity $k$ is constant, this simplifies to the Laplacian form:
$$ \nabla^2 T + \frac{\dot{q}}{k} = \frac{1}{\alpha}\frac{\partial T}{\partial t} $$
$\alpha = k/(\rho c_p)$ — 열확산율 (m$^2$/s): 열이 매질 속으로 침투하는 속도를 나타내는 물성치$\alpha = k/(\rho c_p)$ — Thermal diffusivity (m$^2$/s): indicates how rapidly heat penetrates into a medium
$\dot{q}$ — 체적 발열률 (W/m$^3$): 전기 저항, 핵분열, 화학 반응 등에 의한 내부 에너지 생성$\dot{q}$ — Volumetric heat generation (W/m$^3$): internal energy production from electrical resistance, nuclear fission, chemical reactions, etc.
정상 상태($\partial T/\partial t = 0$), 발열 없음($\dot{q}=0$)이면 라플라스 방정식 $\nabla^2 T = 0$으로 귀결Steady state ($\partial T/\partial t = 0$) with no generation ($\dot{q}=0$) reduces to Laplace's equation $\nabla^2 T = 0$
특수 경우 정리Summary of Special Cases
1
라플라스 방정식: 정상 상태, 발열 없음 $\rightarrow \nabla^2 T = 0$Laplace's equation: steady state, no generation $\rightarrow \nabla^2 T = 0$
2
푸아송 방정식: 정상 상태, 발열 있음 $\rightarrow \nabla^2 T + \dot{q}/k = 0$Poisson's equation: steady state with generation $\rightarrow \nabla^2 T + \dot{q}/k = 0$
3
확산 방정식 (푸리에 방정식): 비정상 상태, 발열 없음 $\rightarrow \nabla^2 T = \frac{1}{\alpha}\frac{\partial T}{\partial t}$Diffusion equation (Fourier's equation): transient, no generation $\rightarrow \nabla^2 T = \frac{1}{\alpha}\frac{\partial T}{\partial t}$
Section 2.2
경계 조건Boundary Conditions
열 확산 방정식을 풀기 위해서는 공간적 경계 조건(BC)과 시간적 초기 조건(IC)이 필요하다. 경계 조건은 크게 세 가지 유형으로 분류된다.Solving the heat diffusion equation requires spatial boundary conditions (BC) and temporal initial conditions (IC). Boundary conditions fall into three main types.
제1종 BC (Dirichlet): 경계면 온도 지정. $T(0,t) = T_s$. 예: 항온 수조에 담긴 벽면Type 1 BC (Dirichlet): specified surface temperature. $T(0,t) = T_s$. Example: wall immersed in a constant-temperature bath
제2종 BC (Neumann): 경계면 열유속 지정. $-k\frac{\partial T}{\partial x}\big|_{x=0} = q_s''$. 예: 전기 히터가 부착된 표면. 단열 조건은 $q_s'' = 0$인 특수 경우Type 2 BC (Neumann): specified surface heat flux. $-k\frac{\partial T}{\partial x}\big|_{x=0} = q_s''$. Example: surface with an electric heater. Insulation is the special case $q_s'' = 0$
제3종 BC (Robin / 대류): 표면에서 대류 조건. $-k\frac{\partial T}{\partial x}\big|_{x=0} = h[T_\infty - T(0,t)]$. 가장 일반적인 형태Type 3 BC (Robin / Convection): convection at surface. $-k\frac{\partial T}{\partial x}\big|_{x=0} = h[T_\infty - T(0,t)]$. The most commonly encountered form
실무 팁Practical Tip
대칭 조건도 경계 조건으로 자주 사용된다. 대칭면에서 $\partial T/\partial x = 0$ (열유속 = 0)이며, 이는 Neumann BC의 특수 경우이다. 양면이 동일한 조건의 평판 문제를 반으로 줄여 풀 수 있게 해준다.Symmetry conditions are also frequently used as BCs. At a symmetry plane, $\partial T/\partial x = 0$ (zero heat flux), which is a special case of the Neumann BC. This allows reducing a slab problem with identical conditions on both faces to half the domain.
Section 2.3
1차원 비정상 전도 — 푸리에 수의 의미1D Transient Conduction — Meaning of the Fourier Number
초기에 균일 온도 $T_i$인 평판의 양면 온도를 갑자기 $T_s$로 변경하면, 내부 온도장은 시간에 따라 변화한다. 이 과정을 지배하는 무차원 수가 푸리에 수(Fourier number)이다: $\text{Fo} = \alpha t / L^2$. Fo가 클수록 열이 충분히 침투하여 정상 상태에 가까워진다.When a slab initially at uniform temperature $T_i$ has both surfaces suddenly changed to $T_s$, the internal temperature field evolves in time. The dimensionless number governing this process is the Fourier number: $\text{Fo} = \alpha t / L^2$. Larger Fo means heat has penetrated further, approaching steady state.
양면 온도 $T_s = 0$ (무차원), 초기 온도 $T_i = 1$인 평판의 해석해 (1항 근사):Analytical solution (one-term approximation) for a slab with $T_s = 0$ (dimensionless) and $T_i = 1$:
Interactive Figure 2.1비정상 전도 온도 분포 (1D 평판)Transient Conduction Temperature Profiles (1D Slab)
Fo0.05
Fo0.05
Center Temperature θ(0)--
현재 FoCurrent Fo
이전 시간 (참고)Earlier times (reference)
핵심 통찰Key Insight
$\text{Fo} \ll 1$이면 열이 표면 근처에만 침투하여 중심부는 초기 온도를 유지한다. $\text{Fo} \gtrsim 0.2$이면 1항 근사가 유효하며, $\text{Fo} \to \infty$이면 온도가 균일하게 $T_s$에 도달한다 (정상 상태).When $\text{Fo} \ll 1$, heat penetrates only near the surface and the center remains at $T_i$. For $\text{Fo} \gtrsim 0.2$, the one-term approximation is valid. As $\text{Fo} \to \infty$, the temperature uniformly reaches $T_s$ (steady state).
Section 2.4
내부 발열이 있는 평판Slab with Internal Heat Generation
전기 저항 발열, 핵연료봉의 핵분열, 생체 조직의 대사열 등 다양한 공학 응용에서 매질 내부에 균일한 열 생성이 있다. 양면 온도가 $T_s$로 동일하고, 균일 발열 $\dot{q}$가 있는 두께 $2L$ 평판의 정상 상태 온도 분포는 포물선이 된다.Uniform internal heat generation occurs in many engineering applications: electrical resistance heating, nuclear fission in fuel rods, metabolic heat in biological tissue, etc. For a slab of thickness $2L$ with both surfaces at $T_s$ and uniform generation $\dot{q}$, the steady-state temperature profile is parabolic.
원점 $x=0$은 평판의 중심면 (대칭 조건: $dT/dx|_{x=0}=0$)Origin $x=0$ is at the slab centerline (symmetry: $dT/dx|_{x=0}=0$)
최고 온도는 항상 중심에서 발생하며, $\dot{q}$에 비례하고 $k$에 반비례한다Maximum temperature always occurs at the center, proportional to $\dot{q}$ and inversely proportional to $k$
핵연료봉 설계에서 중심 온도가 연료의 녹는점을 초과하지 않도록 $\dot{q}$와 $L$을 제한하는 것이 핵심 설계 기준이다In nuclear fuel rod design, the key criterion is limiting $\dot{q}$ and $L$ so the centerline temperature does not exceed the fuel melting point
Interactive Figure 2.2내부 발열에 의한 포물선 온도 분포Parabolic Temperature Profile from Internal Generation
q̇ (W/m³)5.0 × 10&sup5;
k (W/m·K)50
L (m)0.020
Ts (°C)100
Tmax (center)--
ΔT (center - surface)--
Section 2.5
개념 점검Concept Check
이 장에서 다룬 에너지 방정식, 경계 조건, 비정상 전도, 내부 발열 문제에 대한 이해를 확인하자.Let us verify understanding of the energy equation, boundary conditions, transient conduction, and internal generation problems covered in this chapter.
Q1. 열 확산 방정식에서 정상 상태이고 내부 발열이 없는 경우, 남는 방정식은?Q1. In the heat diffusion equation, if steady state and no internal generation, what equation remains?
정상 상태 $\partial T/\partial t = 0$이므로 우변이 사라지고, 발열 없음 $\dot{q}=0$이므로 좌변에서 발열 항도 사라져 $\nabla^2 T = 0$만 남는다. 이는 라플라스 방정식이다.Steady state eliminates $\partial T/\partial t = 0$ on the RHS, and no generation removes $\dot{q}=0$ from the LHS, leaving $\nabla^2 T = 0$ which is Laplace's equation.
Q2. 푸리에 수 Fo = 0.5일 때 대략적으로 열이 평판에 어느 정도 침투했는가?Q2. At Fourier number Fo = 0.5, roughly how much has heat penetrated the slab?
Fo = 0.5이면 1항 근사가 유효한 범위($\text{Fo} > 0.2$)를 충분히 넘었고, 중심부 온도는 초기 온도에서 상당히 변화한 상태이다. 하지만 완전한 정상 상태($\text{Fo} \to \infty$)는 아니다.At Fo = 0.5, the one-term approximation is valid ($\text{Fo} > 0.2$) and the center temperature has changed significantly from $T_i$. However, full steady state ($\text{Fo} \to \infty$) has not yet been reached.