대류 물질 전달은 유체 유동에 의해 화학종이 이동하는 현상이다. Sherwood 수 Sh는 대류 물질 전달과 확산의 비를 나타내며, 열전달의 Nusselt 수와 정확히 대응한다. Re와 Sc의 함수로 표현되는 상관식은 열전달 상관식에서 Pr을 Sc로 치환하여 얻는다.Convective mass transfer is the transport of chemical species by fluid motion. The Sherwood number Sh represents the ratio of convective to diffusive mass transfer, directly analogous to the Nusselt number in heat transfer. Correlations expressed as functions of Re and Sc are obtained by replacing Pr with Sc in heat transfer correlations.
Sherwood NumberSchmidt NumberMass Transfer CoefficientNu-Sh AnalogyTurbulent Correlation
Section 14.1
대류 물질 전달의 기초Convective Mass Transfer Fundamentals
대류 물질 전달에서 물질 전달 계수 $k_c$는 표면에서의 몰 플럭스를 농도 차이로 나눈 값이다. 열전달의 대류 열전달 계수 $h$와 정확히 대응하며, 무차원화하면 Sherwood 수가 된다.In convective mass transfer, the mass transfer coefficient $k_c$ is defined as the molar flux at the surface divided by the concentration driving force. It is exactly analogous to the convective heat transfer coefficient $h$, and when non-dimensionalized yields the Sherwood number.
Sherwood 수: 대류 물질 전달 / 분자 확산의 비. Nu와 동일한 물리적 의미Sherwood number: ratio of convective mass transfer to molecular diffusion. Same physical meaning as Nu
Schmidt 수: 운동량 확산도 / 물질 확산도. 공기에서 Sc ≈ 0.7, 물에서 Sc ≈ 500-1000Schmidt number: momentum diffusivity / mass diffusivity. In air Sc ≈ 0.7, in water Sc ≈ 500-1000
핵심 유사성: Nu 상관식에서 Nu→Sh, Pr→Sc로 치환하면 물질 전달 상관식Key analogy: replace Nu→Sh and Pr→Sc in any Nu correlation to get mass transfer correlation
Q1. 평판 위 난류 경계층에서 열전달 상관식이 $\text{Nu} = 0.332\,\text{Re}^{0.5}\,\text{Pr}^{1/3}$일 때, 대응하는 물질 전달 상관식은?Q1. If the heat transfer correlation for laminar flow over a flat plate is $\text{Nu} = 0.332\,\text{Re}^{0.5}\,\text{Pr}^{1/3}$, what is the corresponding mass transfer correlation?
열-물질 전달 유사성에 의해, Nu 상관식에서 Nu를 Sh로, Pr을 Sc로 치환하면 된다. 계수와 지수는 동일하게 유지된다. 이것이 열전달 상관식을 물질 전달에 활용할 수 있는 강력한 도구이다.By the heat-mass transfer analogy, replace Nu with Sh and Pr with Sc. The coefficients and exponents remain identical. This is a powerful tool for leveraging heat transfer correlations in mass transfer problems.
Section 14.2
Sh vs Re 상관식 시각화Sh vs Re Correlation Visualization
난류와 난류 영역에서의 Sh-Re 상관식을 로그-로그 그래프로 보여준다. 난류에서는 $\text{Sh} = 0.332\,\text{Re}^{0.5}\,\text{Sc}^{1/3}$, 난류에서는 $\text{Sh} = 0.023\,\text{Re}^{0.83}\,\text{Sc}^{1/3}$이다. Sc 슬라이더를 조절하여 공기(Sc~0.7)와 물(Sc~1000)에서의 차이를 비교하라.The Sh-Re correlations for laminar and turbulent regimes are shown on a log-log plot. Laminar: $\text{Sh} = 0.332\,\text{Re}^{0.5}\,\text{Sc}^{1/3}$; turbulent: $\text{Sh} = 0.023\,\text{Re}^{0.83}\,\text{Sc}^{1/3}$. Adjust the Sc slider to compare air (Sc~0.7) vs water (Sc~1000).
Interactive Figure 14.1Sh vs Re (로그-로그) -- 열전달 유사성 비교Sh vs Re (log-log) -- Heat Transfer Analogy Comparison
Sc7.0
Sc--
Sc1/3--
유체Fluid--
Sh (물질 전달) -- 난류Sh (mass transfer) -- laminar
Sh (물질 전달) -- 난류Sh (mass transfer) -- turbulent
Nu (열전달, Pr=0.7)Nu (heat transfer, Pr=0.7)
Q2. 같은 Re에서 Sc = 1000 (물)과 Sc = 0.7 (공기)의 Sh 값은 어떻게 다르나?Q2. At the same Re, how do Sh values differ between Sc = 1000 (water) and Sc = 0.7 (air)?
$\text{Sh} \propto \text{Sc}^{1/3}$이므로, Sh 비율 = $(1000/0.7)^{1/3} = 1429^{1/3} \approx 11.3$배이다. 물에서는 농도 경계층이 얇아 표면 농도 기울기가 가파르고, 따라서 물질 전달 계수가 더 크다. 그러나 $D_{AB}$ 자체가 물에서 훨씬 작으므로 절대적 플럭스는 공기보다 작을 수 있다.Since $\text{Sh} \propto \text{Sc}^{1/3}$, the Sh ratio = $(1000/0.7)^{1/3} = 1429^{1/3} \approx 11.3$x. In water, the thin concentration boundary layer creates a steep surface concentration gradient, yielding a larger mass transfer coefficient. However, since $D_{AB}$ itself is much smaller in water, the absolute flux may still be smaller than in air.
Section 14.3
열-물질 전달 유사성Heat-Mass Transfer Analogy
열-물질 전달 유사성의 근본 이유는 두 현상을 지배하는 미분 방정식이 수학적으로 동일하기 때문이다. 경계 조건이 동일하면, 무차원 온도 프로파일과 농도 프로파일이 같은 형태를 갖는다. 이는 Sc = Pr인 경우에 정확하고, 그 외의 경우에도 1/3 승 보정으로 좋은 근사를 제공한다.The fundamental reason for the heat-mass transfer analogy is that both phenomena are governed by mathematically identical differential equations. With the same boundary conditions, dimensionless temperature and concentration profiles have the same form. This is exact when Sc = Pr, and the 1/3 power correction provides good approximation otherwise.
$$ \frac{\text{Sh}}{\text{Sc}^{1/3}} = \frac{\text{Nu}}{\text{Pr}^{1/3}} \quad \text{(at same Re)} $$
유사성 적용 조건: (1) 같은 기하형상, (2) 같은 유동 조건(Re), (3) 유사한 경계 조건Conditions for analogy: (1) same geometry, (2) same flow conditions (Re), (3) similar boundary conditions
제한 사항: 고속 물질 전달(블로잉), 화학 반응 존재, 물성치 변화가 큰 경우 유사성 정확도 저하Limitations: analogy accuracy decreases with high mass transfer rates (blowing), chemical reactions, and large property variations
증발 냉각(습구 온도) 계산: 열전달 계수 $h$와 물질 전달 계수 $k_c$를 Lewis 관계로 연결Evaporative cooling (wet-bulb temperature): connects heat transfer coefficient $h$ and mass transfer coefficient $k_c$ via Lewis relation
Q3. 습구 온도계에서 Le ≈ 1 (공기-수증기)일 때, 열전달 계수와 물질 전달 계수의 관계는?Q3. In a wet-bulb thermometer where Le ≈ 1 (air-water vapor), what is the relationship between heat and mass transfer coefficients?
Lewis 관계식 $k_c = h/(\rho c_p) \cdot \text{Le}^{-2/3}$에서 Le = 1이면 $k_c = h/(\rho c_p)$가 된다. 공기-수증기 시스템에서 Le ≈ 0.85로 1에 가까우므로, 이 근사가 잘 적용된다. 이것이 습구 온도 측정의 이론적 기초이다.From the Lewis relation $k_c = h/(\rho c_p) \cdot \text{Le}^{-2/3}$, when Le = 1, $k_c = h/(\rho c_p)$. For the air-water vapor system, Le ≈ 0.85, close to 1, so this approximation works well. This is the theoretical basis of wet-bulb temperature measurement.