시간에 따라 농도 분포가 변하는 비정상 상태 확산은 Fick의 제2법칙으로 기술된다. 반무한 매체에서의 해는 오차 함수(error function)로 표현되며, 침투 깊이는 $\sqrt{D_{AB}t}$에 비례한다. 이 해석이 Higbie의 침투 이론(penetration theory)의 기초가 된다.Unsteady-state diffusion, where concentration profiles change with time, is governed by Fick's second law. The solution for a semi-infinite medium is expressed using the error function, with penetration depth proportional to $\sqrt{D_{AB}t}$. This analysis forms the basis of Higbie's penetration theory.
Fick's 2nd LawError FunctionPenetration DepthFourier Mass NumberHigbie's Theory
Section 13.1
Fick의 제2법칙과 비정상 확산Fick's Second Law and Transient Diffusion
Fick의 제2법칙은 종 연속 방정식에서 대류를 무시하고 반응이 없는 1차원 확산에 대한 편미분 방정식이다. 초기 조건과 경계 조건에 따라 다양한 해를 갖는다. 가장 기본적인 경우인 반무한 매체(semi-infinite medium)에서, 표면 농도가 갑자기 $C_s$로 바뀌면 오차 함수 해를 얻는다.Fick's second law is the PDE for 1D diffusion without convection or reaction, derived from species continuity. It admits various solutions depending on initial and boundary conditions. For the most basic case of a semi-infinite medium with a sudden surface concentration change to $C_s$, the error function solution is obtained.
반무한 매체: 한쪽 표면에서만 확산이 시작되고, 반대쪽은 무한히 먼 경우. $x \to \infty$에서 $C_A = C_{A,0}$ (초기 농도)Semi-infinite medium: diffusion starts from one surface; the other end is infinitely far. $C_A = C_{A,0}$ (initial concentration) as $x \to \infty$
Q1. 비정상 확산에서, 확산 시간을 4배로 늘리면 침투 깊이(concentration front)는 약 몇 배 깊어지는가?Q1. In transient diffusion, if diffusion time is quadrupled, by what factor does the penetration depth increase?
상사 변수 $\eta = x/(2\sqrt{D_{AB}t})$에서 같은 $\eta$ 값(같은 농도 도달)을 위한 깊이 $x \propto \sqrt{t}$이다. 따라서 시간을 4배로 하면 침투 깊이는 $\sqrt{4} = 2$배이다. 이는 확산이 시간의 제곱근으로만 진행됨을 보여준다 -- 확산은 본질적으로 느린 과정이다.From the similarity variable $\eta = x/(2\sqrt{D_{AB}t})$, achieving the same $\eta$ (same concentration level) requires $x \propto \sqrt{t}$. Quadrupling time gives $\sqrt{4}=2$x depth. This shows diffusion progresses only as the square root of time -- it is inherently slow.
Section 13.2
침투 이론 (Penetration Theory)Penetration Theory
Higbie의 침투 이론은 비정상 확산 해석을 대류 물질 전달에 적용한 것이다. 유체 요소가 계면에 접촉 시간 $t_c$ 동안 머물면서 표면으로부터 확산을 받는다고 모델링한다. 시간 평균 플럭스로부터 물질 전달 계수를 유도하면 $k_c = 2\sqrt{D_{AB}/(\pi t_c)}$를 얻는다. 확산 계수의 1/2승에 비례한다는 것이 정체막 이론($k_c \propto D_{AB}$)과의 핵심 차이이다.Higbie's penetration theory applies the unsteady diffusion analysis to convective mass transfer. A fluid element contacts the interface for a contact time $t_c$, receiving diffusion from the surface. The time-averaged flux yields the mass transfer coefficient $k_c = 2\sqrt{D_{AB}/(\pi t_c)}$. The key difference from film theory ($k_c \propto D_{AB}$) is the half-power dependence on diffusivity.
$$ \text{Fo}_m = \frac{D_{AB}\,t}{L^2} \quad \text{(Fourier mass number)} $$
$\text{Fo}_m$: 질량 Fourier 수. 확산에 의해 스케일 $L$까지 농도가 전파되는 정도를 나타냄. $\text{Fo}_m \gtrsim 0.2$이면 전체 스케일에 확산 도달$\text{Fo}_m$: mass Fourier number. Indicates how far concentration has propagated over scale $L$ by diffusion. $\text{Fo}_m \gtrsim 0.2$ means diffusion reaches the full scale
침투 깊이: $\delta_p \approx \sqrt{\pi D_{AB} t}$. 농도가 표면값의 ~1%까지 변화하는 깊이Penetration depth: $\delta_p \approx \sqrt{\pi D_{AB} t}$. Depth where concentration changes to ~1% of surface value
아래 그림은 반무한 매체에서의 비정상 확산을 보여준다. Fourier 질량 수 $\text{Fo}_m = D_{AB}t/L^2$를 변경하면 시간이 지남에 따라 농도 프로파일이 매체 깊숙이 침투하는 과정을 관찰할 수 있다. 표면($x=0$)에서 $C_A = C_s$이고, 깊은 곳에서는 초기 농도 $C_0$를 유지한다.The figure below shows transient diffusion into a semi-infinite medium. Adjusting the Fourier mass number $\text{Fo}_m = D_{AB}t/L^2$ shows how the concentration profile penetrates deeper into the medium over time. At the surface ($x=0$), $C_A = C_s$; deep inside, $C_A$ remains at the initial $C_0$.
Interactive Figure 13.1반무한 매체에서의 비정상 확산 -- C(x,t)Transient Diffusion in Semi-Infinite Medium -- C(x,t)
Q2. 탄소강의 침탄(carburizing) 공정에서, 표면 탄소 농도가 일정하게 유지될 때 1mm 깊이에 원하는 탄소 농도를 달성하는 데 4시간이 걸렸다. 2mm 깊이에 같은 농도를 달성하려면 약 몇 시간이 필요한가?Q2. In carburizing of steel with constant surface carbon concentration, if 4 hours are needed to reach the desired carbon level at 1mm depth, how long is needed for the same level at 2mm depth?
같은 농도 비($\theta = \text{erf}(\eta)$가 같음)를 위해서는 $\eta = x/(2\sqrt{D_{AB}t})$가 일정해야 한다. $x_2/x_1 = 2$이면 $\sqrt{t_2/t_1} = 2$, 즉 $t_2 = 4 t_1 = 16$시간. 확산에 의한 침투 깊이가 $\sqrt{t}$에 비례하므로, 두 배 깊이를 달성하려면 네 배의 시간이 필요하다.For the same concentration ratio ($\theta = \text{erf}(\eta)$ constant), $\eta = x/(2\sqrt{D_{AB}t})$ must be constant. If $x_2/x_1 = 2$, then $\sqrt{t_2/t_1} = 2$, so $t_2 = 4t_1 = 16$ hours. Since penetration depth scales as $\sqrt{t}$, doubling the depth requires quadrupling the time.