물질 전달의 미분 방정식은 Fick의 법칙과 종 질량 보존(species continuity)으로부터 유도된다. 유동하는 유체 위에 형성되는 농도 경계층의 두께는 Schmidt 수에 의해 결정되며, 속도 경계층과의 비 $\delta/\delta_c = \text{Sc}^{1/3}$이 핵심 관계이다.The differential equations for mass transfer are derived from Fick's law and species continuity. The concentration boundary layer thickness over a flowing fluid is governed by the Schmidt number, with the key relation $\delta/\delta_c = \text{Sc}^{1/3}$ linking velocity and concentration boundary layers.
Species ContinuityConcentration BLSchmidt NumberBL AnalogyConvective Flux
Section 11.1
종 연속 방정식 (Species Continuity Equation)Species Continuity Equation
종 연속 방정식은 미소 검사 체적에 대해 화학종 A의 질량 보존을 적용하여 얻는다. 축적 = 순 유입(확산 + 대류) + 생성 으로 표현되며, 비압축성 유체에서 일정한 $D_{AB}$를 가정하면 열전달의 에너지 방정식과 동일한 형태가 된다.The species continuity equation is obtained by applying mass conservation of species A on a differential control volume. Accumulation = Net influx (diffusion + convection) + Generation. For an incompressible fluid with constant $D_{AB}$, it takes the same form as the energy equation in heat transfer.
정상 상태 + 반응 없음 + 1차원: $D_{AB} \, d^2C_A/dx^2 = 0$ → 선형 농도 분포Steady state + no reaction + 1D: $D_{AB} \, d^2C_A/dx^2 = 0$ → linear concentration profile
Q1. 정상 상태에서 화학 반응 없이 1차원 확산이 일어나면, 농도 분포의 형태는?Q1. For steady-state, 1D diffusion without chemical reaction, what is the shape of the concentration profile?
정상 상태 + 반응 없음의 1차원 Fick 방정식은 $d^2C_A/dx^2 = 0$이다. 이를 두 번 적분하면 $C_A(x) = ax + b$. 이는 열전달에서 반응/발열 없는 평판의 온도 분포가 선형인 것과 정확히 같다.The 1D Fick equation with steady state and no reaction gives $d^2C_A/dx^2 = 0$. Integrating twice yields $C_A(x) = ax + b$. This is exactly analogous to the linear temperature profile in a plane wall with no heat generation.
Section 11.2
농도 경계층Concentration Boundary Layer
유체가 고체 표면 위를 흐를 때, 벽면 농도와 자유 흐름 농도 사이에 농도 경계층이 형성된다. 그 두께 $\delta_c$는 속도 경계층 두께 $\delta$와 Schmidt 수를 통해 연결된다: $\delta/\delta_c = \text{Sc}^{1/3}$. Sc > 1이면 농도 경계층이 속도 경계층보다 얇고(액체에서 일반적), Sc < 1이면 두껍다(일부 기체). 이 관계는 경계층 유사해(analogy)의 핵심이다.When fluid flows over a solid surface, a concentration boundary layer forms between the wall concentration and the freestream concentration. Its thickness $\delta_c$ is related to the velocity boundary layer thickness $\delta$ by the Schmidt number: $\delta/\delta_c = \text{Sc}^{1/3}$. When Sc > 1, the concentration BL is thinner than the velocity BL (typical in liquids); when Sc < 1, it is thicker (some gases). This relationship is central to boundary layer analogies.
Sc ≈ 0.7 (기체, 예: 공기 중 CO$_2$): $\delta_c \approx 1.13\,\delta$. 농도 경계층이 속도 경계층보다 약간 두껌움Sc ≈ 0.7 (gases, e.g., CO$_2$ in air): $\delta_c \approx 1.13\,\delta$. Concentration BL is slightly thicker than velocity BL
Sc ≈ 1000 (액체, 예: NaCl-H$_2$O): $\delta_c \approx 0.1\,\delta$. 농도 경계층이 속도 경계층보다 10배 얇음Sc ≈ 1000 (liquids, e.g., NaCl-H$_2$O): $\delta_c \approx 0.1\,\delta$. Concentration BL is 10 times thinner than velocity BL
Sc = 1이면 $\delta_c = \delta$. 속도와 농도 프로파일이 완전히 동일한 형태Sc = 1 gives $\delta_c = \delta$. Velocity and concentration profiles have identical shapes
Interactive Figure 11.1농도 경계층 vs 속도 경계층 -- Sc 의존성Concentration BL vs Velocity BL -- Sc Dependence
Sc7.0
Sc--
δ/δc--
물리적 의미Meaning--
속도 경계층 δVelocity BL δ
농도 경계층 δcConcentration BL δc
Q2. 물에 녹아 있는 소금(Sc $\approx$ 600)의 경우, 농도 경계층 두께는 속도 경계층 두께의 약?Q2. For salt dissolved in water (Sc $\approx$ 600), the concentration BL thickness is approximately what fraction of the velocity BL thickness?
$\delta/\delta_c = \text{Sc}^{1/3} = 600^{1/3} = 8.43$이므로 $\delta_c \approx \delta/8.4$이다. 물에서 물질 확산이 운동량 확산보다 훨씬 느리기 때문에, 농도 변화가 벽면 가까이에 집중되어 얇은 농도 경계층이 형성된다.$\delta/\delta_c = \text{Sc}^{1/3} = 600^{1/3} = 8.43$, so $\delta_c \approx \delta/8.4$. Since mass diffusion in water is much slower than momentum diffusion, concentration changes are confined near the wall, forming a thin concentration boundary layer.
Section 11.3
수송 유사성 (Transport Analogies)Transport Analogies
운동량, 열, 물질 전달은 수학적으로 동일한 형태의 미분 방정식으로 기술된다. 이 유사성 덕분에 하나의 전달 현상에서 얻은 상관식을 다른 전달 현상에 적용할 수 있다. 무차원 수들의 대응 관계(Re, Pr/Sc, Nu/Sh)가 이 유사성을 정량화한다.Momentum, heat, and mass transfer are described by mathematically identical differential equations. This analogy allows correlations developed for one transport phenomenon to be applied to another. The correspondence between dimensionless groups (Re, Pr/Sc, Nu/Sh) quantifies this analogy.
Sherwood 수: $\text{Sh} = k_c L / D_{AB}$. 대류 물질 전달 / 확산 물질 전달의 비 (↔ Nu)Sherwood number: $\text{Sh} = k_c L / D_{AB}$. Ratio of convective to diffusive mass transfer (↔ Nu)
Lewis 수: $\text{Le} = \alpha / D_{AB}$. 열 확산과 물질 확산의 비. 증발 냉각 분석에 핵심Lewis number: $\text{Le} = \alpha / D_{AB}$. Ratio of thermal to mass diffusivity. Key for evaporative cooling analysis
열-물질 유사성의 핵심: Nu 상관식에서 Pr을 Sc로, Nu를 Sh로 치환하면 물질 전달 상관식을 얻는다Key of heat-mass analogy: replace Pr with Sc, and Nu with Sh in a Nu correlation to obtain the mass transfer correlation
Q3. Lewis 수 Le = 1이면 어떤 물리적 의미를 갖는가?Q3. What is the physical meaning of Lewis number Le = 1?
Le = $\alpha/D_{AB} = 1$이면 열 확산도와 물질 확산도가 같다는 뜻이다. 따라서 열 경계층과 농도 경계층의 두께가 동일해진다. 이 조건에서 Chilton-Colburn 유사성이 가장 정확하게 적용된다. 공기 중 수증기 확산에서 Le $\approx$ 0.85로 1에 가깍다.Le = $\alpha/D_{AB} = 1$ means thermal diffusivity equals mass diffusivity. The thermal and concentration boundary layers therefore have equal thickness. The Chilton-Colburn analogy is most accurate under this condition. For water vapor in air, Le $\approx$ 0.85, close to 1.