물질 전달은 혼합물 내에서 농도 차이에 의해 화학종이 이동하는 현상이다. Fick의 제1법칙은 몰 플럭스가 농도 기울기에 비례함을 나타내며, 확산 계수 $D_{AB}$는 이 비례 상수이다. 확산 계수의 크기는 상(phase)에 따라 기체 $\sim 10^{-5}$, 액체 $\sim 10^{-9}$, 고체 $\sim 10^{-12}$ m$^2$/s 수준으로 크게 다르다.Mass transfer is the transport of chemical species within a mixture driven by concentration differences. Fick's first law states that molar flux is proportional to the concentration gradient, with diffusivity $D_{AB}$ as the proportionality constant. Diffusivity magnitudes vary dramatically across phases: gases $\sim 10^{-5}$, liquids $\sim 10^{-9}$, solids $\sim 10^{-12}$ m$^2$/s.
Fick's First LawFick's Second LawDiffusivity D_ABMolar FluxMass Flux
Section 10.1
Fick의 제1법칙Fick's First Law of Diffusion
Fick의 제1법칙은 분자 확산에 의한 물질 전달의 기본 법칙이다. 이진(binary) 혼합물에서 성분 A의 몰 플럭스 $J_A$는 농도 기울기 $dC_A/dx$에 비례하며, 비례 상수가 확산 계수 $D_{AB}$이다. 이는 열전달의 Fourier 법칙, 운동량 전달의 Newton 점성 법칙과 수학적으로 동일한 형태이다.Fick's first law is the fundamental relation for molecular diffusion mass transfer. In a binary mixture, the molar flux $J_A$ of component A is proportional to the concentration gradient $dC_A/dx$, with diffusivity $D_{AB}$ as the proportionality constant. This is mathematically analogous to Fourier's law in heat transfer and Newton's viscosity law in momentum transfer.
$J_A$ (확산 플럭스): 몰 평균 속도에 대한 상대적 플럭스. 단위: mol/(m$^2$·s)$J_A$ (diffusion flux): flux relative to molar average velocity. Units: mol/(m$^2$·s)
$N_A$ (몰 플럭스): 고정 좌표에 대한 절대 플럭스. $N_A = J_A + C_A V^*$, 여기서 $V^*$는 몰 평균 속도$N_A$ (molar flux): absolute flux relative to fixed coordinates. $N_A = J_A + C_A V^*$, where $V^*$ is the molar average velocity
열전달 유사성: Fick 법칙 $J_A = -D_{AB}\nabla C_A$ ↔ Fourier 법칙 $q = -k\nabla T$ ↔ Newton $\tau = -\mu \nabla v$Heat transfer analogy: Fick's law $J_A = -D_{AB}\nabla C_A$ ↔ Fourier's law $q = -k\nabla T$ ↔ Newton's $\tau = -\mu \nabla v$
Interactive Figure 10.1Fick의 제1법칙 -- 멤브레인 농도 분포와 몰 플럭스Fick's First Law -- Concentration Profile Through Membrane & Molar Flux
DAB (m²/s)10⁻⁷ m²/s
두께 δ (mm)Thickness δ (mm)2.0 mm
Chigh (mol/m³)500
Clow (mol/m³)50
NA--
dC/dx--
DAB--
CA(x) 농도 분포CA(x) concentration profile
Q1. 확산 계수가 $10^{-5}$ m$^2$/s에서 $10^{-9}$ m$^2$/s로 감소하면, 같은 농도 기울기에서 몰 플럭스는 어떻게 되는가?Q1. If diffusivity decreases from $10^{-5}$ to $10^{-9}$ m$^2$/s, what happens to molar flux at the same concentration gradient?
Fick의 제1법칙 $J_A = -D_{AB}(dC_A/dx)$에서 플럭스는 확산 계수에 직접 비례한다. $D_{AB}$가 $10^{-5}$에서 $10^{-9}$으로 변하면 $10^4$배 감소한다. 이것이 기체에서 확산이 액체보다 약 $10^4$배 빠른 이유이다.From Fick's first law $J_A = -D_{AB}(dC_A/dx)$, flux is directly proportional to diffusivity. When $D_{AB}$ changes from $10^{-5}$ to $10^{-9}$, it decreases by $10^4$. This is why diffusion in gases is about $10^4$ times faster than in liquids.
Section 10.2
확산 계수와 추정Diffusivity and Its Estimation
확산 계수 $D_{AB}$는 매체의 상(phase), 온도, 압력, 분자의 크기 및 상호작용에 의존한다. 기체에서 확산 계수는 온도의 약 1.5~1.8승에 비례하고 압력에 반비례한다. 액체에서는 Stokes-Einstein 식을 사용하여 추정할 수 있으며, 점도에 반비례한다. 고체에서의 확산은 격자 내 원자 점프(vacancy mechanism) 또는 침입형 확산(interstitial diffusion)으로 일어나며 활성화 에너지 장벽이 있어 매우 느리다.The diffusivity $D_{AB}$ depends on the phase of the medium, temperature, pressure, and molecular size and interactions. In gases, diffusivity is proportional to approximately $T^{1.5\text{-}1.8}$ and inversely proportional to pressure. In liquids, it can be estimated using the Stokes-Einstein equation and is inversely proportional to viscosity. Diffusion in solids occurs through vacancy mechanisms or interstitial diffusion with activation energy barriers, making it very slow.
고체: $D_{AB} \sim 10^{-10}$~$10^{-14}$ m$^2$/s. 예: C in Fe(γ) = $2 \times 10^{-11}$ m$^2$/s (927 °C)Solids: $D_{AB} \sim 10^{-10}$~$10^{-14}$ m$^2$/s. Example: C in Fe(γ) = $2 \times 10^{-11}$ m$^2$/s (927 °C)
Fick의 제2법칙(비정상 상태): $\displaystyle\frac{\partial C_A}{\partial t} = D_{AB}\frac{\partial^2 C_A}{\partial x^2}$. 열전달의 열확산 방정식과 동일한 형태Fick's second law (unsteady state): $\displaystyle\frac{\partial C_A}{\partial t} = D_{AB}\frac{\partial^2 C_A}{\partial x^2}$. Same form as the heat diffusion equation
Q2. Stokes-Einstein 식에 의하면, 온도를 일정하게 유지하면서 용매의 점도를 2배로 높이면 확산 계수는?Q2. According to the Stokes-Einstein equation, if solvent viscosity is doubled at constant temperature, what happens to the diffusivity?
Stokes-Einstein 식 $D_{AB} = k_BT/(6\pi\mu r_A)$에서 확산 계수는 점도에 반비례한다. 점도가 2배면 확산 계수는 절반이 된다. 꿀(점도 ≈ 10 Pa·s)에서의 확산이 물(점도 ≈ 0.001 Pa·s)에서보다 약 $10^4$배 느린 것이 이 때문이다.From the Stokes-Einstein equation $D_{AB} = k_BT/(6\pi\mu r_A)$, diffusivity is inversely proportional to viscosity. If viscosity doubles, diffusivity is halved. This is why diffusion in honey (viscosity ≈ 10 Pa·s) is about $10^4$ times slower than in water (viscosity ≈ 0.001 Pa·s).
Section 10.3
상별 확산 계수 비교Diffusivity Comparison Across Phases
확산 계수는 매체의 상에 따라 수 자릿수(order of magnitude) 차이가 난다. 기체에서는 분자 간 거리가 크고 충돌 사이의 평균 자유 경로가 길어 확산이 빠르다. 액체에서는 분자 간 상호작용이 강해 느려지고, 고체에서는 격자 내 결합 에너지 장벽을 넘어야 하므로 가장 느리다. 아래 차트는 대표적인 확산 쌍의 $D_{AB}$ 값을 비교한 것이다.Diffusivities vary by orders of magnitude across phases. In gases, large intermolecular spacing and long mean free paths enable fast diffusion. In liquids, stronger molecular interactions slow diffusion, and in solids, lattice bonding energy barriers make diffusion slowest. The chart below compares $D_{AB}$ values for representative diffusion pairs.
Interactive Figure 10.2상별 확산 계수 비교 차트Diffusivity Comparison Chart by Phase
기체 (~10⁻⁵ m²/s)Gases (~10⁻⁵ m²/s)
액체 (~10⁻⁹ m²/s)Liquids (~10⁻⁹ m²/s)
고체 (~10⁻¹² m²/s)Solids (~10⁻¹² m²/s)
Q3. 물질 전달에서 Schmidt 수 $\text{Sc} = \nu/D_{AB}$가 의미하는 것은?Q3. In mass transfer, what does the Schmidt number $\text{Sc} = \nu/D_{AB}$ represent?
Schmidt 수 $\text{Sc} = \nu / D_{AB}$는 운동량 확산도(kinematic viscosity $\nu$)와 물질 확산도($D_{AB}$)의 비이다. 열전달에서 Prandtl 수 $\text{Pr} = \nu/\alpha$와 정확히 대응한다. 공기에서 $\text{Sc} \approx 0.7$, 물에서 $\text{Sc} \approx 1000$이다.The Schmidt number $\text{Sc} = \nu / D_{AB}$ is the ratio of momentum diffusivity (kinematic viscosity $\nu$) to mass diffusivity ($D_{AB}$). It is exactly analogous to the Prandtl number $\text{Pr} = \nu/\alpha$ in heat transfer. In air, $\text{Sc} \approx 0.7$; in water, $\text{Sc} \approx 1000$.