난류 유동 Turbulent Flow

난류(turbulence)는 불규칙적이고 3차원적인 비정상 유동으로, 넓은 범위의 길이 및 시간 스케일을 포함합니다. 큰 에디(eddy)가 에너지를 생성하고, 이 에너지는 에디 캐스케이드(energy cascade)를 통해 점점 작은 에디로 전달되며, 최종적으로 Kolmogorov 미세 스케일에서 점성에 의해 열로 소산됩니다. Turbulence is an irregular, three-dimensional, unsteady flow involving a wide range of length and time scales. Large eddies generate energy, which cascades through progressively smaller eddies until it is dissipated as heat by viscosity at the Kolmogorov microscale.

난류 강도(turbulence intensity) $I = u'_{\text{rms}} / \bar{U}$는 평균 유속 대비 변동 성분의 크기를 나타내며, 일반적으로 관내 유동에서 1–10%, 자유 전단층에서 10–30% 범위입니다. Turbulence intensity $I = u'_{\text{rms}} / \bar{U}$ measures the magnitude of fluctuations relative to the mean velocity, typically 1–10% in pipe flow and 10–30% in free shear layers.

레이놀즈 분해(Reynolds decomposition)는 난류 유동의 순간 속도를 시간 평균 성분 $\bar{u}$와 변동 성분 $u'$로 분리합니다: $u(t) = \bar{u} + u'(t)$. 정의에 의해 변동의 시간 평균은 0입니다 ($\overline{u'} = 0$). 그러나 변동의 제곱 평균 $\overline{u'^2}$은 0이 아니며, 이것이 난류의 에너지를 나타냅니다. Reynolds decomposition separates the instantaneous turbulent velocity into a time-averaged component $\bar{u}$ and a fluctuating component $u'$: $u(t) = \bar{u} + u'(t)$. By definition, the time-average of the fluctuation is zero ($\overline{u'} = 0$), but the mean square $\overline{u'^2}$ is nonzero and represents the turbulent energy.

Navier-Stokes 방정식에 레이놀즈 분해를 적용하면 레이놀즈 평균 Navier-Stokes(RANS) 방정식이 도출되며, 여기에 추가 항 $-\rho\overline{u'_i u'_j}$ (레이놀즈 응력 텐서)가 나타납니다. 이 항은 난류에 의한 운동량 전달을 나타내며, 이를 모델링하는 것이 난류 모델의 핵심 과제입니다. Applying Reynolds decomposition to the Navier-Stokes equations yields the Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS) equations, which contain additional terms $-\rho\overline{u'_i u'_j}$ (the Reynolds stress tensor). These terms represent momentum transport by turbulence, and modeling them is the central challenge of turbulence modeling.

난류 경계층의 벽면 근처 속도 분포는 벽 좌표(wall coordinates)로 표현하면 보편적인 형태를 보입니다. 마찰 속도 $u_\tau = \sqrt{\tau_w / \rho}$를 기준으로 무차원 속도 $u^+ = \bar{u}/u_\tau$와 무차원 벽면 거리 $y^+ = y u_\tau / \nu$를 정의합니다. The velocity distribution near the wall in turbulent boundary layers takes a universal form when expressed in wall coordinates. Using the friction velocity $u_\tau = \sqrt{\tau_w / \rho}$, we define dimensionless velocity $u^+ = \bar{u}/u_\tau$ and wall distance $y^+ = y u_\tau / \nu$.

벽면 근처에는 세 가지 뚜렷한 영역이 존재합니다. (1) 점성 저층(viscous sublayer): $y^+ < 5$, $u^+ = y^+$ (선형, 점성 지배), (2) 완충층(buffer layer): $5 < y^+ < 30$ (점성과 난류 혼합이 모두 중요), (3) 대수 법칙 영역(log-law region): $y^+ > 30$, $u^+ = \frac{1}{\kappa}\ln y^+ + B$ ($\kappa \approx 0.41$, $B \approx 5.2$). Three distinct regions exist near the wall: (1) Viscous sublayer: $y^+ < 5$, $u^+ = y^+$ (linear, viscosity-dominated), (2) Buffer layer: $5 < y^+ < 30$ (both viscous and turbulent mixing important), (3) Log-law region: $y^+ > 30$, $u^+ = \frac{1}{\kappa}\ln y^+ + B$ ($\kappa \approx 0.41$, $B \approx 5.2$).

$k$-$\varepsilon$ 모델은 산업 CFD에서 가장 널리 사용되는 2-방정식 난류 모델입니다. 난류 운동 에너지 $k = \frac{1}{2}\overline{u'_i u'_i}$와 난류 소산율(dissipation rate) $\varepsilon$에 대한 수송 방정식을 풀어 와점성도 $\nu_t = C_\mu k^2 / \varepsilon$를 계산합니다. The $k$-$\varepsilon$ model is the most widely used 2-equation turbulence model in industrial CFD. It solves transport equations for turbulent kinetic energy $k = \frac{1}{2}\overline{u'_i u'_i}$ and dissipation rate $\varepsilon$ to compute eddy viscosity $\nu_t = C_\mu k^2 / \varepsilon$.

표준 $k$-$\varepsilon$ 모델의 상수는 $C_\mu = 0.09$, $C_{\varepsilon 1} = 1.44$, $C_{\varepsilon 2} = 1.92$, $\sigma_k = 1.0$, $\sigma_\varepsilon = 1.3$이며, 이 값들은 기본적인 난류 유동(균일 전단, 격자 난류 감쇠 등)에서 보정되었습니다. 강한 곡률, 분리, 또는 비등방 난류에서는 한계가 있어 $k$-$\omega$ SST, RSM 등의 대안이 사용됩니다. Standard $k$-$\varepsilon$ model constants are $C_\mu = 0.09$, $C_{\varepsilon 1} = 1.44$, $C_{\varepsilon 2} = 1.92$, $\sigma_k = 1.0$, $\sigma_\varepsilon = 1.3$, calibrated from fundamental turbulent flows (homogeneous shear, grid turbulence decay, etc.). Limitations arise in strong curvature, separation, or anisotropic turbulence, where alternatives like $k$-$\omega$ SST or RSM are preferred.