Chapter 3

질량, 에너지, 운동량 수지 Mass, Energy, and Momentum Balances

검사체적에 대한 세 가지 기본 보존법칙 — 연속 방정식, 베르누이 방정식, 운동량 방정식 — 을 학습하고 벤투리 미터와 관 유동에 적용합니다.

연속 방정식 베르누이 마찰 손실 운동량 수지

Section 3.1

질량 보존: 연속 방정식

검사체적(control volume)에 대해 질량 보존 법칙을 적용하면 연속 방정식을 얻습니다. 정상 상태(steady state)에서 유입 질량유량과 유출 질량유량은 동일해야 합니다. 비압축성 유체의 경우 밀도가 일정하므로, 체적유량 $Q = Av$가 보존됩니다.

$$\dot{m}_{\text{in}} = \dot{m}_{\text{out}} \implies \rho_1 A_1 v_1 = \rho_2 A_2 v_2$$

$$A_1 v_1 = A_2 v_2 \quad \text{(incompressible)}$$

검사체적(CV) — 유체가 드나드는 고정된 공간 영역. 검사면(CS)을 통해 질량, 에너지, 운동량이 교환됨.
정상 상태 — CV 내의 모든 물리량이 시간에 대해 변하지 않는 상태. $\partial/\partial t = 0$.
핵심 결과 — 단면적이 줄어들면 유속이 증가 (벤투리 효과의 기초).

Section 3.2

에너지 보존: 베르누이 방정식

비압축성, 비점성, 정상 유동에서 유선(streamline)을 따라 에너지 보존을 적용하면 베르누이 방정식을 얻습니다. 이 방정식은 압력 에너지, 운동 에너지, 위치 에너지의 합이 유선을 따라 일정함을 나타냅니다.

실제 유동에서는 마찰에 의한 에너지 손실(head loss)이 있으므로, 수정된 베르누이 방정식에 마찰 손실 항 $h_f$를 추가합니다. 펌프나 터빈이 있는 경우 $h_p$ (펌프 수두) 또는 $h_t$ (터빈 수두)도 포함됩니다.

$$\frac{P}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} + z = \text{const} \quad \text{(along a streamline)}$$

$$\frac{P_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{P_2}{\rho g} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 + h_f$$

$P/(\rho g)$ — 압력 수두 (pressure head). 압력의 등가 유체 높이 표현.
$v^2/(2g)$ — 속도 수두 (velocity head). 운동 에너지의 등가 높이.
$h_f$ — 마찰 손실 수두. Darcy-Weisbach: $h_f = f \cdot (L/D) \cdot v^2/(2g)$.

Section 3.3

벤투리 미터 Venturi Meter

벤투리 미터는 베르누이 방정식과 연속 방정식을 결합하여 유량을 측정하는 장치입니다. 관이 좁아지는 목(throat) 부분에서 유속이 증가하고 압력이 감소합니다. 입구와 목에서의 압력 차를 측정하면 유량을 계산할 수 있습니다.

$$Q = A_2 \sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho\left(1 - (A_2/A_1)^2\right)}}$$

Figure 3.1 벤투리 미터 — 중심축 따른 속도 & 압력

입구 직경 D₁ 0.100 m

목 직경 D₂ 0.050 m

입구 압력 P₁ 200 kPa

v₁ —

v₂ —

P₂ —

Q —

면적비 —

Section 3.4

관 유동과 마찰 손실 Pipe Flow and Friction Losses

관 내부 유동에서 점성에 의한 에너지 손실은 Darcy-Weisbach 방정식으로 계산합니다. 마찰계수 $f$는 레이놀즈 수 $Re$와 상대 조도 $\varepsilon/D$에 의존합니다. 층류($Re < 2100$)에서 $f = 64/Re$이고, 난류에서는 Colebrook-White 방정식 또는 Moody 차트를 사용합니다.

$$h_f = f \frac{L}{D} \frac{v^2}{2g} \quad \text{(Darcy-Weisbach)}$$

$$Re = \frac{\rho v D}{\mu}, \qquad f_{\text{lam}} = \frac{64}{Re}$$

$$\frac{1}{\sqrt{f}} = -2.0 \log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re\sqrt{f}}\right) \quad \text{(Colebrook-White)}$$

Figure 3.2 관 유동 에너지 수지

관 직경 D 0.050 m

유속 v 2.00 m/s

관 길이 L 50 m

표면 조도 ϵ 1.000 mm

Re —

유동 상태 —

f —

ΔP —

h_f —

Section 3.5

운동량 수지 Momentum Balance

검사체적에 대한 운동량 수지는 뉴턴의 제2법칙을 유체에 적용한 것입니다. 정상 유동에서 검사체적에 작용하는 외력의 합은 나가는 운동량 유속에서 들어오는 운동량 유속을 뺀 것과 같습니다.

이 원리는 관 이음부, 노즐, 엘보(elbow), 로켓 추진 등에서 유체가 구조물에 미치는 힘을 계산할 때 사용됩니다. 벡터 방정식이므로 각 방향 성분에 대해 독립적으로 적용합니다.

$$\sum \vec{F} = \dot{m}_{\text{out}}\vec{v}_{\text{out}} - \dot{m}_{\text{in}}\vec{v}_{\text{in}}$$

$$\sum \vec{F} = \dot{m}(\vec{v}_2 - \vec{v}_1) \quad \text{(steady, single inlet/outlet)}$$

외력 — 압력 힘 + 중력 + 검사면과 접촉하는 고체 벽으로부터의 반력.
노즐 문제 — 유체가 가속되면서 관에 반작용 힘(추력)을 가하는 전형적 예.
벡터 특성 — $x$, $y$, $z$ 성분에 대해 독립적으로 적용 가능. 비스듬한 유동에서는 각도를 고려.

Q. 수평 관에서 단면적이 절반으로 줄어들면 유속은 어떻게 되는가?

연속 방정식 $A_1 v_1 = A_2 v_2$에서, 비압축성 유체이고 $A_2 = A_1/2$이면 $v_2 = 2v_1$이 됩니다. 단면적이 절반이 되면 유속은 두 배로 증가합니다.